7-1 통계적 추론의 개념과 표본오차
1. 통계적 추론의 개념
통계학이란 불확실성을 수반하는 의사결정에 이용될 수 있는 수치적 근거를 제공하기 위한 방법론과 이론을 연구하는 과학분야인데, 통계적 방법론은 자료의 수집과 기록, 분석, 해석에 관련되며 크게 기술통계학과 추측통계학이라는 두 개의 영역으로 구분된다.
기술통계학(descriptive statistics)은 조사목적에 맞도록 자료를 수집하고 요약함으로써 관찰치들의 분포형태, 중심화 경향치(최빈수, 중위수, 산술평균 등), 산포도의 측정치(분산, 표준편차, 범위 등)를 구하거나 또는 상관분석이나 회귀분석을 실시하기 위한 방법론을 의미하는데, 결국 수집된 자료를 여러 가지 특성치로서 요약하는 일이다. 이 때 일정한 특성을 갖춘 개별구성원들의 전체 집합을 모집단이라고 하며, 그러한 모집단으로부터 추출된 일부 구성원의 집합을 표본이라고 하는 점은 이미 제5장에서 설명한 바와 같다.
이에 반해 추론통계학 또는 추측통계학(inferential statistics)이란 하나의 표본으로부터 그것이 추출된 모집단의 특성치들을 추정함으로써 모집단의 특성을 일반화시키기 위한 방법론을 의미하는데, 추측통계학은 표본으로부터 모집단의 특성치를 파악할 수 있도록 도와주는 이론적 근거를 제공하며, 이러한 추론과정에서는 모수의 추정과 통계적 가설검증이 가장 핵심적인 과제이다.
즉 조사자는 추론통계학의 방법론을 근거로 하여 표본의 특성치인 여러 가지 통계량으로부터 모집단의 특성치인 모수들을 추정함으로써 모집단의 특성을 일반화시킬 수 있다.
모집단의 모수는 그 모집단에 속하는 모든 구성원들에 대한 관찰치들을 근거로 하므로 하나의 값으로 존재하지만, 표본의 통계량은 모집단의 일부 구성원에 대한 관찰치들만을 근거로 하므로 표본에 따라 달라질 수 있다. 즉 표본의 평균 과 표준편차 등의 표본통계량은 표본을 어떻게 선정할 것인가에 따라 크게 달라지므로 통계적 추론이 타당성을 갖기 위하여는 표본설계에 관한 충분한 지식과 고려가 필요하다.
2. 통계량의 확률분포(표본분포)
2-1. 표본평균의 확률분포
크기가 N인 모집단으로부터 크기가 n인 표본들을 추출하는 방법은 N!/n!(N-n)!가지가 될 것이다. 이러한 표본들로부터 구해진 표본통계량의 확률분포를 표본분포(sampling distribution)라고 한다.
2-1-1. 정규모집단의 경우
어떤 변수에 대해 정규분포를 이루는 모집단을 정규모집단(normal population)이라고 한다. 이러한 정규모집단으로부터 추출된 표본평균들은 평균이 모집단평균과 같고 표준편차가 (모집단의 표준편차/표본크기의 제곱근)인 정규분포를 이룬다.
이 때 표본평균들의 표준편차는 표본분포에 있어서 표준편차임을 강조하기 위해 표본평균의 표준오차(standard error of the sample means)라고 한다. 이러한 표준오차는 모집단의 표준편차의 크기에 정비례하면서 표본크기의 제곱근에 반비례함을 알 수 있다.
또한 정규편차(normal deviate)인 확률변수 z는 (개별값-그들의 평균)/그들의 표준편차로 계산되므로 표본평균들에 대한 확률변수 z는 평균=0, 분산=1인 정규분포(표준정규분포라고 함)를 이룬다.
2-1-2. 비정규모집단의 경우
비정규모집단에 대해서도 표본의 크기가 큰 경우(n>30)라면 표본평균들의 분포는 평균이 모집단평균, 표준오차가 (모집단의 표준편차/표본크기의 제곱근)인 정규분포에 접근하며(중심극한의 정리, central limit theorem), 이러한 경향은 표본의 크기가 클수록 강하다(대수의 법칙, law of large numbers). 따라서 모집단의 분포특성에 관계없이 표본의 크기가 크다면 표본평균의 확률분포는 일반적으로 정규분포로 간주될 수 있다.
2-2. 표본비율의 확률분포
크기가 n인 표본에서 특정한 사상이 일어날 횟수의 비율을 표본비율(sample proportion)이라고 하는데, 표본비율들은 평균이 모집단비율과 같고 표준오차가 표본비율x(1-표본비율)/표본크기의 제곱근인 정규분포를 이룬다.
물론 여기서도 표본평균들의 표준오차와 같은 맥락에서 표본비율의 표준오차 (standard error of the sample proportions)라는 명칭을 사용하는데, 이러한 표본비율의 표준오차는 표본크기의 제곱근에 반비례하므로 표본의 크기가 클수록 표본오차는 적어짐을 알 수 있다.
물론 표본비율들에 대한 확률변수 z도 평균=0, 분산=1인 정규분포(표준정규분포라고 함)를 이룬다.
3. 표본자료에 내지된 오차의 유형
3-1.표본추출오차
표본추출오차(sampling error)란 표본이 모집단을 완전히 대표하지 않는다는 사실로부터 기인하는 표본자료에 있어서의 오차로 정의되며, 단순히 표본오차 또는 무작위오차, 우연오차(chance error)라고도 한다. 그것은 표본추출과정상의 우연에 의해 발생되며 표본의 크기가 커감에 따라 감소하는 경향을 가지므로 표본의 크기를 충분히 증대시킴으로써 극소화시킬 수 있다.
즉 표본오차는 표본이 우연히 모집단을 완전히 대표하는 경우를 제외하고는 모든 표본자료에서 나타난다. 표본이 모집단을 완전하게 대표할 수 있는 경우는 극히 드물 일일 뿐, 아니라 표본조사를 통해서는 그러한 사실의 여부조차 확인할 수도 없다. 그러나 이러한 표본오차가 정확하게 측정될 수는 없을지라도 무작위 확률표본으로부터 관찰치들을 수집한다면 추정될 수 있는데, 표본오차에 대한 추정치조차 없다면, 조사자는 표본으로부터 얻어진 통계량들을 전혀 평가할 수도 없을 것이다.
3-2. 통계적 편의와 비표본추출오차
무작위 확률표본에서 표본오차는 추정될 수 있고 표본의 크기를 조정함으로써 관리될 수도 있기 때문에 조사자들은 대체로 표본오차에 관심을 집중하는 경향이 있다. 그러나 표본자료에는 통계적 편의와 비표본추출오차라는 두 가지 형태의 오차도 포함되어 있으며, 조사자는 타당성있는 표본설계를 통해 적절히 대응해야 한다.
통계적 편의(statistical bias)란 모집단의 일부 구성원들이 유리하게 표본자료에 반영될 때 나타나는 것으로서, 대체로 부적절한 표본추출방법을 사용하거나 표본의 크기가 작아 일부 세그먼트를 제대로 포함하지 않을 때 발생한다. 예를 들어, 전화면접을 통하여 표본조사를 실시한다면, 이러한 표본은 전화가 없는 가계에게 불리한 방향으로 편의될 것이다. 이러한 통계적 편의성은 표본의 크기가 증가함에 따라 감소하는 경향을 갖지만 - 표본의 크기와 관계없이 모집단의 중요한 부분이 표본추출에서 제외될 가능성이 있기 때문에 - 항상 그렇지는 않으며, 전수조사를 통하여 완전히 제거될 수 있다.
한편 비표본추출오차(nonsampling error)란 표본추출의 과정과 관계없이 발생하는 표본자료내의 오차로서 원자료에 대한 부적절한 편집과 기호화, 응답자 오차, 면접자 편견, 계산실수, 인쇄과오 등 다양한 원천으로부터 발생할 수 있다. 이러한 비표본추출오차는 설사 전수조사를 통해서도 감소될 수 없으며, 오히려 표본이 커질수록 증대되는 경향을 보인다.
